Ожидание и тонкое велью в безлимитном холдеме: прибыль приходит вместе с дисперсией (Брайан Спейс)

В ставках для получения тонкого велью в безлимитном холдеме игрока запутать может многое.

Проще всего рассмотреть ставку для велью на ривере. Когда Герой ставит и получает колл от оппонента (Злодея), если он выигрывает более чем в половине случаев, ставка будет прибыльной. Выигрыш в 50% случаев - точка равновесия на ривере. Игроки часто не уверены в том, как часто их будут коллировать оппоненты с лучшей рукой, и в том, какую сумму лучше ставить. Ниже приведен реалистичный пример детального анализа элементов, важных для определения нужно ли ставить, и если нужно, то когда и сколько. В примере все эти элементы очевидны. Также из примера ясно, что ставка для тонкого велью значительно увеличит и винрейт игрока, и дисперсию.

Часто на ривере необходимо ставить мало, чтобы удостовериться, что оппонент с руками хуже вашей может заколлировать, следовательно, нужно подстроить размер ставки, чтобы диапазон колла был послабее. Подобные сценарии могут усложнить даже анализ ставки ривера. Поэтому в приведенном примере количество комбинаций лучше и хуже карт Героя в диапазоне Злодея не зависит от размера ставки.

Итак, лимит $2/$5 NLHE, в стеках по $600 (120 больших блайндов) и у Героя, и у Злодея

Герой делает рейз на $20 со средней позиции с AQ, получает колл от Злодея - много играющего рекреационного игрока. Блайнды тоже делают колл - всего заколлировало трое (это типичная история для лузовой пассивной игры лимита $2/$5 в оффлайне).

Всего в банке: $80

Флоп: A72

Герой ставит $60 на флопе, колл делает только Злодей.

Всего в банке: $200

Терн: A72A

Герой ставит $120 на терне, Злодей коллирует

Всего в банке: $440

Ривер: A72A6

У Героя и Злодея в банках остается по $400.

Что делать Герою на ривере?

Предположим, Герой хорошо знает Злодея, тот относительно тайтовый, и у него всегда AK, AQ или AJ после колла ставок на флопе и терне. Злодей бы выбросил флеш дро на спаренном терне и сделал бы рейз с сетом для защиты руки на флопе. Ставку Героя префлоп Злодей заколлировал бы лишь с тузами; на лимите $2/$5 таких игроков пруд пруди. Ставку, какого бы размера мы не делали, относительно пассивный Злодей просто сделает колл. Комбинации рук Злодея следующие:

AK: 4 возможных комбинации, один туз и четыре короля

AQ: 3 возможных комбинации, один туз и три дамы

AJ: 4 возможных комбинации, один туз и четыре валета

Предположим, мы идем в олл-ин на оставшиеся $400. Мы бьем 4 комбинации (AJ), делим с тремя (AQ) и проигрываем 4 комбинациям (АК), ожидаемое велью Героя равно нулю на ставку ривера. Тут и вправду ожидание нулевое вне зависимости от размера нашей ставки. Так что не важно, ставку какого размера делать, если не учитывать дисперсию - ставка большего размера создает большие флуктуации в банкролле Героя.

Однако давайте предположим, что наш играющий более-менее пассивно Злодей сделает 3-бет префлоп с АК в 20% случаев. Поскольку префлоп ререйза не было, теперь немного более вероятно, что у Злодея AQ или AJ, нежели чем AK (практическое применение Теоремы Байеса, которое должен уметь делать любой игрок). Теперь более выгодно ставить так много, насколько это возможно на ривере, даже, несмотря на то, что количество комбинаций рук, которые уступают и обыгрывают руку Героя все те же и частота колла Злодея равна 100% вне зависимости от размера ставки.

Вот в чем суть ставки для велью на ривере. Получая колл, Герой должен иметь лучшую руку, по крайней мере, в 50% случаев для нулевого или большего ожидаемого велью. Если эти условия соблюдаются, Герою нужно выбрать размер ставки, который максимизирует ожидаемое велью. Точнее говоря, для каждого размера ставки нужно производить отдельный расчет. Иногда Герою нужно брать в расчет, что ставка большего размера получит колл только от сильнейшей части диапазона Злодея. Далее, если возможно определить диапазон колла Злодея для ставки определенного размера, Герою нужно подсчитать комбинации, которые опережают или уступают его руке. Далее, когда вероятность того, что определенная комбинация есть у Злодея установлена, среднее арифметическое дает нам ожидаемое велью от ставки. Например, из-за того, что Злодей рейзит префлоп в 20% случаев, количество комбинаций АК следует сократить. Эту переоценку следует произвести в отношении комбинаций, которые будут у Злодея на ривере:

AK: 0.8 *4=3.2 возможных комбинации, один туз и четыре короля; это основано на 80%-ой частоте колла на префлопе

AQ: 3 возможных комбинации, один туз и три дамы

AJ: 4 возможных комбинации, один туз и четыре валета

Теперь посчитаем, каково ожидаемое велью для ставок в $200 и $400 (олл-ин) на ривере в данном сценарии.

Велью ставки ривера

Для ставки в $200 ожидаемое велью на ривере:

Герой выигрывает в 4 случаях, делит в 3 и проигрывает в 3.2:

Выигрыш: 4 / (3.2+3+4) * $200 = +$78.43

Ничья: 3 / 10.2 = $0.00

Проигрыш: 3.2 / 10.2 * $200 = -$62.74

Ожидаемое велью Героя для ставки в $200 на ривере: +$15.69

Ожидаемое велью Героя для ставки в $400 на ривере: +$31.37

Злодей выигрывает в 3.2 случаях, делит в 3 и проигрывает в 4:

Выигрыш: 3.2/ (3.2+3+4) *$200 = +$58.62

Ничья: 3/ 10.2 = $0.00

Проигрыш: 4/ 10.2 *$200 = -$78.43

Ожидаемое велью Злодея для ставки в $200 на ривере: -$15.69

Ожидаемое велью Злодея для ставки в $400 на ривере: -$31.37

Примечание 1: Заметьте, что если Герой ставит $400, вместо $200, то ожидаемое велью удваивается -$31.37.

Примечание 2: Обратите внимание, что ставка Героя "нулевая" - не зависит от предыдущих действий. Злодей же видит ситуацию по-другому - рейз, колл или фолд - все это напрямую зависит от шансов банка, которые дает Герой своей ставкой, и оставшегося стека.

Какую выгоду дает Герою ставка для тонкого велью? Где добывается прибыль в безлимитном холдеме? Давайте посмотрим ожидаемое велью для всей руки с тем, что на ривере сделаем ставку в $400 - чтобы максимизировать винрейт Героя и дисперсию.

Первое, заметьте, когда Злодей не делает 3-бет префлоп, Герой и Злодей вкладывают в банк по $600, плюс там $40 от сфолдивших игроков. Однако теперь нужно учитывать АК, с которыми Злодей делает рейз префлоп, где все фолдят, и в этом случаев блайнды вкладывают лишь $2 и $5 соответственно.

Смотрите на ситуацию следующим образом: у Героя всегда AQ; у Злодея AJ (4 раза), AQ (3 раза), АК в случае колла (3,2 раза) и АК в случае рейза (0.8 раза) - всего 11 комбинаций рук. (Заметьте, учитывается только часть диапазона Злодея, с которой он играет всю раздачу в предписанной манере, а не, например, руки с которыми он мог бы сделать колл на флопе, такие как K Q и 77, с которыми он бы играл по-другому.)

Когда Героя коллируют на префлопе, общий размер банка на ривере $1,240. Так происходит в 10.2/11*100 = 92.7% случаев. Когда префлоп делается 3-бет, Герой фолдит. Так происходит в 0.8/11 * 100 = 7.3% случаев. Делая фолд, Герой проигрывает $20 Злодею. Все это можно подсчитать, этим и займемся.

Разбор всей раздачи для обоих игроков

Когда Злодей делает колл префлоп, оба игрока вкладывают в стек все $600, ещё двое вкладывают в банк $40 и фолдят. Когда Злодей делает рейз префлоп, Герой проигрывает $20, блайнды проигрывают $7.

Герой (AQ)

Четыре победы (У Злодея AJ):

4 / (3.2+3+4) *($40+$600+$600-$600) = +$250.98

Три Ничьи (У Злодея AQ):

3/ 10.2*($1240 /2 -$600) = +$5.88

Четыре Поражения (У Злодея AK)

Проигрывают 3.2 комбинации (Злодей коллирует с AK префлоп):

3.2/ 10.2* $600= -$188.24

Проигрывают 0.8 комбинации (Злодей делает рейз с AK префлоп):

0.8: = -$20

Ожидаемое велью Героя в раздаче:

+$68.63 * (10.2/11) - $20 *(0.8/11) = +$62.18

Злодей (AK, AQ, AJ)

Четыре победы с AK

Выигрывают 3.2 комбинации колла с AK

3.2 / (3.2+3+4) ** ($1240-$600) = +$200.78

Выигрывают 0.8 комбинаций рейза с AK

0.8: = +27. ($20 от Героя, $7 от обоих блайндов)

Три Ничьи с AQ

3/ (3.2+3+4) *($1240 /2 -$600) = +$5.88

Четыре Поражения с AJ

4/ (3.2+3+4) * $600= -$235.29

Ожидаемое велью Злодея в раздаче:

-$28.62 * (10.2/11) + $27 *(0.8/11) = -$24.58

Что же мы узнали? В построении тонких велью бетов ривера Герой оценивает каким будет диапазон колла оппонента для ставки конкретного размера, считает комбинации рук, которые впереди и позади его руки и решает, стоит ли ставить. Ставка, дающая ему наибольшее количество велью - оптимальный выбор.

Этот анализ показывает, насколько трудно "на вскидку" определить плюсовость тонкого велью-бета ривера. С одной стороны, если Герой поставит больше, то он и выиграет больше, когда его рука будет впереди. С другой стороны, хотя большая ставка ривера и дает значительное плюсовое ожидаение, она и увеличивает дисперсию. В 39% случаев мы выигрываем дополнительные $400, но делим или проигрываем $400 в большинстве случаев. Это показывает, что нужно вести банкролл должным образом, чтобы быть готовым страдать от дисперсии для получения максимального количества велью.

Также заметьте, насколько тонка наша ставка для велью на ривере. Все зависит от того, как часто оппоненту АК будет не хватать на ривере из-за редких 3-бетов префлоп, когда мы фолдим, проигрывая наше изначальное вложение в $20. Дополнительные где-то тридцать долларов, которые принесет наша ставка ривера - результат правильной оценки диапазона оппонента и применение этого на практике - а между прочим, это часовой винрейт для профессионального кэш игрока средних лимитов.

Отрицательный эффект такой хорошей игры - в том, что примерно в трети случаев Герой проигрывает дополнительные восемьдесят больших блайндов за счет значительного увеличения дисперсии. Это основной принцип в безлимитном холдеме и покере в целом. За счет использования преимущества в игре и добытия тонкого велью, математическое ожидание растет (скромно), а дисперсия повышается (стремительно) - такова уж математика. Использование небольшого преимущества, например, тонкие ставки для велью имеют такой эффект. (Впервые это было показано Мейсоном Мальмутом в статье "Теория игры и другие темы"). Так что вам нужен адекватный банкролл, чтобы ставить настолько тонко, насколько это прибыльно. Другими словами, если банкролл ограничен, эксперт, прибегающий к таким приемам, разорится быстрее, чем просто хороший игрок, который их не использует, несмотря на то, что его ожидание будет выше.

Наконец, даже отличные игроки часто неверно истолковывают эту ситуацию, оценивая свою покерную сессию. Предположим, Герой забирает весь банк - сколько он выигрывает чистыми? Он забирает домой дополнительные $640. Однако ожидаемое велью было небольшим, и результат - всего лишь удачный виток дисперсии - это значит, что в скором времени следует ожидать неудачи, чтобы все выровнялось, если Герой продолжит действовать в таком ключе постоянно. Тонкое велью дало, а потом и забрало.

Другими словами, доллары Склански (ожидаемое велью в раздаче против каждой из рук оппонента) - здесь особенно не решают. Рука Героя либо намного впереди, либо делит, либо проигрывает. С учетом того, что Герой всегда будет действовать одинаково против руки Злодея (а тот будет играть с все тем же набором рук).

Лучше возьмем доллары Гальфонда - текущую руку Героя против диапазона Злодея - высчитаем ожидаемое велью в несколько больших блайндов против Злодея (много прибыли здесь идет от других игроков, которые сделали колл префлоп и сфолдили на флопе). Герой, скорее всего, разыграет эту руку таким же образом против подобных оппонентов, и это принесет на дистанции скромную прибыль. Это не теоретическая прибыль - она может быть и большой, когда вы выиграете банк, однако математическое ожидание Героя, хоть и положительное, значительно меньше.

Суммируя все вышесказанное, идя на тонкий велью бет, определите диапазон Злодея по отношению к вашим возможным размерам ставок. Учтите, с какими руками Злодей может сделать колл, лучше или хуже вашей, и как часто у него будут эти руки. Выбирайте бетсайзинг, который позволит вам получить максимально возможное велью против диапазона оппонента. И раздача закончится. Если бы покер был простой игрой, выигрывал бы любой дурак.